Hunebedden in verhouding

Over oriëntatiepatronen bij hunebedden en vergrote dolmens

De website is gewijzigd. Dit is nog een oude pagina. Klik hier voor de nieuwe pagina.

'Zhou bi' kosmologie [30]

NB: Hier wordt regelmatig gebruik gemaakt van de inzichten op de pagina's D22 en vergrote dolmens en Meetkunde in de oudheid, zonder dat er expliciet naar wordt verwezen.

Deze pagina handelt over het eerste deel van de Zhou Bi Suan Jing (Arithmetical Classic of the Gnomon and the Circular Paths of Heaven), genaamd 'Het boek van Shang Gao'. Over dit kleine stukje tekst lopen de meningen ver uiteen. Het wordt als een bewijs voor het theorema van Pythagoras gezien (v.d. Waerden [31]), maar ook als een niet-wiskundige tekst op basis van numerologische beginselen (Cullen [32]). Regel 10 en 11 hieronder zijn dusdanig cryptisch, dat er tot nu toe geen bevredigende vertaling voor gevonden is. De opvattingen op deze pagina sluiten aan bij het tweede deel van het boek, waarin de cirkel en het vierkant de basis van de kosmos vormen. De cirkel staat voor de hemel en het vierkant voor de aarde. Na een inleidend woord, waarin Shang Gao wordt geprezen om zijn kennis van de getallen, vervolgt de tekst:

[33]
r.1 - Shang Gao antwoordt:
r.2 - Het systeem van getallen stamt van de cirkel [en] het vierkant.

r.3 - De cirkel stamt van het vierkant.
r.4 - Het vierkant stamt van de blokhaak.
r.5 - De blokhaak stamt van de kwadratentabellen *).

r.6 - Breek daarom de blokhaak volgens [de kwadraten en] verander hem zo:
r.7 - de basis drie breed,
r.8 - de hoogte vier hoog,
r.9 - de diameter vijf diagonaal.

r.10- In feite: [men] buiten-kwadrateert, **)
r.11- [en] halveert dit [en neemt] één blokhaak **)
r.12- [en men] is in staat om hen samen in een ring te passen.
1.13- [Dit] resulteert in drie, vier [en] vijf.

r.14- Twee blokhaken samen vormen een oppervlak ***) van vijfentwintig.
r.15- Dit noemt [men] het opstapelen [van] blokhaken.

*) "de kwadratentabellen" - letterlijk staat er 'negen negens vormen éénentachtig'.
**) van deze regels zijn drie lezingen in omloop:
Song-editie: [xi fang zhi wai ban qi ji ju] 'feitelijk / kwadrateer / [verbindingswoord] / het buitenste / halveer / dit / één / blokhaak'
Qian-editie: [xi fang qi wai ban zhi ji ju] 'feitelijk / kwadrateer / zijn / buitenste / halveer / hem / één / blokhaak'
Zhao's commentaar: [xi fang qi wai ban qi ji ju] 'feitelijk / kwadrateer / zijn / buitenste / halveer / dit / één / blokhaak'
De vertaling hierboven volgt de Song-editie, zoals alle tradionele versies dat doen.
De Song-editie wordt door Cullen echter als grammaticaal onjuist ervaren, waarom hij de amendering van de Qian-editie volgt.
***) "oppervlak" - in de tekst staat eigenlijk 'lengte'.

Cullen wijst op een afwijking van het normale taalgebruik in het klassiek chinees: De hypotenuse tussen de basis en de staander van een blokhaak wordt altijd 'boogkoord' genoemd in plaats van 'diameter' (r.9). Het volgende kan als verklaring worden aangedragen.

Over het algemeen wordt de tekst gelezen als een probleem met bijbehorend antwoord. Misschien komt het hierdoor, dat er in eerste instantie aan een blokhaak als resultaat wordt gedacht. De opdracht 'vouw een blokhaak' kan echter ook worden gelezen als het vervormen van een blokhaak. In dat geval klopt het, dat de tekst niet spreekt over 'boogkoord'. Na het vouwen bestaat de oorspronkelijke blokhaak immers niet meer. Het boogkoord van de ongevouwen blokhaak (basis 3 en staander 4+5=9) bedraagt 9,5 en niet 5. Op deze pagina wordt een interpretatie voorgesteld, waarbij 'halveer dit/hem' niet aan een blokhaak, maar aan de uitkomst van het kwadrateren refereert. De tekst wordt begrepen als een soort handleiding voor een oude praktijk - de constructie van een 3:4:5-driehoek. Deze 'handleiding' zou net zo goed geschreven kunnen zijn voor het construeren van het kelderpatroon met ingesloten driehoek. Vier belangrijke elementen komen namelijk met elkaar overeen en staan in dezelfde logische volgorde:

1. De blokhaak stamt van de kwadraten-tabellen.
De vraag waar bovenstaande tekst het antwoord op vormt, betreft de afmetingen van hemel en aarde. In plaats van een berekening, presenteert Shang Gao een visie op de geometrische vormen met als conclusie, dat ze uiteindelijk via de blokhaak van de kwadratentabellen stammen. Hier wordt waarschijnlijk niet bedoeld, dat de rechte hoek van een blokhaak uit een berekening met kwadraten kan worden gevonden, zoals bijv. in het theorema van Pythagoras. De oude wiskundeteksten leiden de zijden in een rechthoekige driehoeken van de proporties af, zonder zich om de rechte hoek te bekommeren. Zij zijn verankerd in het proportionele denken en met de diagonalen in een verhoudingrooster wordt altijd een rechthoekige driehoek verkregen. Dat kan hier ook worden bedoeld. In ieder geval sluit Zhao's commentaar op regel 6 bij deze denkwijze aan. Hij gaat ervan uit, dat het onderwerp vanaf regel 6 verder proportioneel wordt ontwikkeld.

2. Eerst moet de proportie worden gekwadrateerd.
In zowel de Song- als de Qian-editie staan we voor de vraag, wat de tekst met 'het buitenste' bedoelt. 'Zijn (=een blokhaak) buitenste' (Qian-editie) is onduidelijk, maar 'buiten-kwadrateren' (Song-editie) klinkt wel heel vreemd. Echter, in het patroon (figuur links) met de verhouding 1:N:N^2 ligt de maatvoerende eenheid (de 1, oranje in de figuur) buiten de blokhaak. Mogelijk refereert de term 'het buitenste' daaraan. In dat geval geven beide edities toch min of meer dezelfde lezing, waarbij de basis van de blokhaak wordt gekwadrateerd met het 'buitenste' erbij (de 1, al dan niet gekwadrateerd). Dit levert inderdaad een dubbele diagonaal.

3. Halveren.
'Halveer dit' verwijst naar de dubbele diagonaal. Als commentaar bij de diagonaal uit regel 9, schrijft Zhao: 'de natuurlijke proporties met elkaar in overeenstemming'. Dat is precies, wat het kwadrateren en halveren teweeg brengt. Echter toont Zhao's commentaar bij regel 10 en 11 geen werkelijk inzicht in dit proportionele denken. Daar wordt een bepaalde proportie in het verhoudingrooster via de diagonaal omgezet in de verhoudingen van de zijden van een rechthoekige driehoek. Zhao begrijpt de proportie als de onderlinge verhouding van de zijden zelf en zijn manipulatie van de bijbehorende vlakken past beter bij zijn eerste figuur (het hypotenusediagram) dan bij deze tekst.

4. Het plaatsen in een ring.
Als in regel 10 en 11 het kwadrateren en halveren de diagonaal oplevert, dan verwijst 'plaats hun samen' naar de diagonaal en de te breken blokhaak. Door de blokhaak langs de diagonalen van het figuur te passen ontstaat de gewenste driehoek. Oftewel: vouw de blokhaak langs drie diagonalen in een ring. Omdat deze blokhaak met benen 3 en 9 van de kwadratentabellen stamt, heeft de diagonaal in het rooster de proportie 1:3. Met deze proportie ontstaat inderdaad een driehoek met de verhouding 3:4:5.

Het boek vervolgt in regel 14 en 15 met het samenvoegen van twee blokhaken. Het tempo van de tekst lag al hoog, maar er gaat nog een schepje bovenop. Hier wordt aan een proces gerefereerd, waar een buitenstaander alleen nog naar kan raden. Omdat 25 als oppervlakte wordt genoemd, gaat het hier om gevouwen blokhaken en mogelijk dus om het patroon. Door twee patronen zodanig tegenover elkaar te plaatsen, dat ze een oppervlak van 25 omsluiten, ontstaat een figuur die lijkt op de eerste illustratie (bekend onder de naam hypotenuse-diagram) bij Zhao's essay dat aan het 'Boek van Shang Gao' werd toegevoegd. Hoewel wij tegenwoordig van de lengte en de breedte uitgaan om een vierkant te vormen, hoeft het tegenover elkaar plaatsen van één zijde niet te bevreemden. Ook in de Sulva-sutra worden lijnen tegenover elkaar geplaatst om een vierkant te creëren, waarbij het hypotenuse-diagram mogelijk eveneens de context vormt (zie de pagina Meetkunde in de oudheid). Op deze wijze geïnterpreteerd, is in regel 14 de toevoeging van de oppervlakte van 25 geen constatering, maar een voorwaarde.

Met behulp van de 1:3 proportie in het rooster, kan een grid worden opgezet, waarmee de verhouding tussen de zijdes wordt aangetoond (linker twee). Door de figuur met vier extra gevouwen blokhaken rondom uit te breiden en beide grids in te tekenen, ontstaat een kopie van Zhao's illustratie (rechts). De twee andere illustraties bij zijn essay schijnen van latere datum en lijken een vage herinnering aan het draaien van het grid weer te geven. Overigens wekt Zhao's commentaar bij regel 10 en 11 een zelfde soort gevoel. Hij leest in de Zhou bi het woord 'kwadrateren' en denkt meteen aan het manipuleren van vlakken. Maar waar bij Zhao de meetkundige inzichten al gevorderd zijn, balanceert het boek van Shang Gao nog op het randje de wiskunde. De meetkunde, de kosmologie en volgens Cullen ook de numerologie vloeien in elkaar over.

Nadat op de pagina Wiskunde in de oudheid is gebleken, dat de constructie van het kelderpatroon nauwgezet de proportionele aanpak van de Jiuzhang suanshu (Nine chapters on Mathematical Art) en het algoritme van Pythagoras volgt, schijnt het boek van Shang Gao nu in dezelfde traditie te staan. Het boek staat zelfs dichterbij het patroon, omdat het een deel van de constructie werkelijk beschrijft (het plaatsen in een ring). Het is een interessant gegeven, dat de tekst vanuit een kosmologische opvatting is geschreven. De proportie van de blokhaak staat centraal, daar komt het vierkant uit voort en tenslotte ook de cirkel. Dat het vierkant de aarde voorstelt en de cirkel het hemelgewelf, weerspiegelt de bouwstijl van enkele dolmens. Daar wordt een rechthoekige driehoek omsloten door een min of meer rechthoekige kelder. De kelder wordt met een heuvel omgeven. Op de pagina D30, D40 en Goseck blijkt een aantal van die heuvels met behulp van een rechthoekige driehoek te zijn vormgegeven. Als de kosmologie van de Zhou bi op zo'n dolmen wordt toegepast, dan zou dat een kosmos in het klein kunnen voorstellen: De kelder als aarde en de heuvel als hemelgewelf, gebaseerd op de balans van de juiste proporties (ingesloten rechthoekige driehoek). Echter zit er wel 3000 jaar en 10000 km tussen het China van de Zhou bi en het Mecklenburg van de vergrote dolmens. Aan de andere kant: Als het proportionele denken deze weg heeft kunnen afleggen, waarom dan de kosmologische visie niet?