Hunebedden in verhouding

Over oriëntatiepatronen bij hunebedden en vergrote dolmens

De website is gewijzigd. Dit is nog een oude pagina. Klik hier voor de nieuwe pagina.

Meetkunde in de oudheid

Op de pagina D22 en vergrote dolmens wordt de keldervorm van enkele dolmens vergeleken met de geometrische vorm hieronder. Deze vorm wordt als volgt opgezet. In een rooster wordt steeds de diagonaal met de proportie 1:2 gebruikt. Drie van deze diagonalen worden aansluitend in een soort lus getekend, waarna een integrale rechthoekige driehoek ontstaat.

Vanuit de proportie 1:2 en de congruentieregels kan worden verklaard, dat we hier met een 3:4:5-driehoek te maken hebben. De driehoeken CDE en ACE zijn congruent met BEF, zodat CD:CE:AC = 1:2:4. Met een eenvoudige berekening kunnen de zijden worden achterhaald. Vanwege de constructie is het duidelijk dat AD en BE elkaar haaks snijden.

De stap van proportie 1:2 naar een willekeurige proportie 1:N is vrij eenvoudig. Door diagonaal BE naar boven toe te verlengen ontstaat nog een congruente driehoek ACG. Het is duidelijk dat CE:AC:CG = 1:N:N^2. Voor een dubbele diagonaal levert dit de lengte EG = N^2 + 1, zodat voor een enkele diagonaal geldt: AB = 1/2 (N^2 + 1). Deze methode komt overeen met het algoritme voor het vinden van rechthoekige driehoeken, dat aan Pythagros wordt toegschreven [23]. Voor de rechthoekzijden geldt BC = 1/2 (N^2 - 1) en AC = N.

De volgende stap naar een algemene proportie M:N vereist enig inzicht in hoe de proporties in de figuur doorwerken. Hieronder wordt de proportie 3:7 als voorbeeld gebruikt, zoals die voorkomt in probleem 9.14 van de Jiuzhang suanshu (Nine Chapters on Mathematical Art - 200 v.Chr.) [24].

Van P naar B naar D wordt er steeds proportioneel vergroot met factor N/M. Bij D levert dit een breuk volgens D = P x N^2/M^2. Door voor P de lengte M^2 te kiezen, wordt het rekenwerk aanzienlijk vereenvoudigd. In dat geval krijgen we B = N/M x P = M x N en D = N/M x B = N^2. Uit de constructie van de figuur kan van de ingeschreven rechthoekige driehoek de onderlinge verhouding van de zijden worden afgelezen. Daartoe worden de stappen in de eerste kolom van de onderstaande tabel gevolgd. De methode vindt zijn parallel in de oplossing van probleem 9.14 uit de Jiuzhang suanshu (de andere kolommen). Daar moet de afstand van een wandeling worden berekend aan de hand van proporties. Opvallenderwijs berekenen Kangshen en v.d. Waerden met hun vertaling de zijde A wel correct, maar ieder verschillend.

Patroon Probleem 9.14 Probleem 9.14
Constructie Methode Uitwerking
C = 1/2 (P + D) C = 1/2 (M^2 + N^2) C = 1/2 (7*7 + 3*3) = 29
A = D – C A = N^2 – C A = 7*7 – 29 = 20 (Kangshen [24])
A = C – P A = C – M^2 A = 29 – 3*3 = 20 (v.d. Waerden [25])
B = N/M x P B = N x M B = 7 x 3 = 21

Ook Plato's methode om rechthoekige driehoeken te vinden [26], kan hieruit worden herleid. Daarvoor wordt diagonaal C ingevuld bij A = C - M^2 en worden alle zijden vervolgens verdubbeld. Dat levert: B = 2MN, C = M^2 + N^2 en A = N^2 – M^2. Plato's methode vormt derhalve een veralgemenisering van die van Pythagoras.

Hoewel de proportionele aanpak een handige methode is voor manipulaties op basis van rechthoekige driehoeken, heeft zij wel een nadeel. Het is niet inzichtelijk welke driehoekzijden uit welke proportionele getallen ontstaan. Het zou kunnen zijn, dat men al vroeg voor dit probleem een oplossing zocht door de proportionele getallen gelijk te kiezen aan die van de rechthoekzijden. In dat geval moet de figuur anders worden benaderd.

Uit de oud-Babylonische periode (2000-1600 v.Chr.) stamt een tablet met opgaven over rechthoekige driehoeken (gecodeerd: VAT 6598) [27]. Hier worden de leerlingen gevraagd de diagonaal van een rechthoek te vinden, waarvan de zijden gegeven zijn. Er volgt geen afdoende berekening, maar een benadering volgens de methode: C = B + 1/2 (A^2 / B). Aan de hand van het proportiepatroon kan deze benadering worden begrepen. In de figuur links geldt D:A = A:B, waaruit volgt dat D = A^2 / B. Na omcirkelen (groen) blijkt dat C kan worden benaderd met C = B + 1/2 D. De figuur hiernaast heeft de proportie 3:4 als basis en dat levert een vrij grote fout. Bij de meeste rechthoekige driehoeken is zijde A klein ten opzicht van de zijden B en C, zodat de benadering daar een beter resultaat oplevert.

Algemeen wordt aangenomen dat het geometrisch denken zich vanuit Mesopotamië naar Egypte en Griekenland heeft verspreid. Tablet VAT 6598 kan in dit licht worden gezien als een aanloopje naar het theorema van Pythagoras. In ieder geval blijkt de interesse aanwezig om vanuit de zijden en niet vanuit de proportie te werken. Ook het theorema kan uit het proportiepatroon worden beredeneerd, maar daarvoor moet D worden verlengd, zoals eerder nodig bleek voor de uitwerking van de proportie M:N. Net als bij het kleitablet wordt het patroon benaderd vanuit de driehoek met de proportie als rechthoekzijden. In de figuur links geldt D:B = B:A, waaruit volgt dat D = B^2 / A. Tevens geldt nu C:A = (D+A):C, waaruit volgt dat C^2 = (B^2/A + A) x A. Dit levert het theorema C^2 = A^2 + B^2.

De uitwerkingen rechtstreeks vanuit de rechthoekzijden zijn deels algebraïsch, omdat ze niet geheel uit de figuur kunnen worden afgelezen. In die zin staat het wiskundig inzicht er op een 'hoger' plan. Overigens wordt ook de hindoeistische Sulva sutra wel aangewezen als oorsprong van het theorema. In het deel Baudhayana (ongeveer 700 v.Chr.) lezen we twee uitspraken achter elkaar:

[28]
1.12
De vlakken, die afzonderlijk met de lengte en breedte van een vierkant worden gemaakt, zijn samen gelijk aan het vlak dat met de diagonaal wordt gemaakt.

1.13
Dit wordt waargenomen bij rechthoeken met de zijden 3 en 4, 12 en 5, 15 en 8, 7 en 24, 12 en 35, 15 en 36.

Uitspraak 1.12 beschrijft onmiskenbaar het theorema, maar levert geen bewijs. Vervolgens wijst uitspraak 1.13 op een ervaringsgegeven, waardoor het minder aannemelijk wordt dat 1.12 op bewijsvoering stoelt.

Het rooster blijkt een handig hulpmiddel te zijn om meetkundige problemen via verhoudingen en congruenties op te lossen. Langs een aantal tussenstations ontstaat een doorlopende ontwikkeling vanaf het kelderpatroon van enkele dolmens tot aan het theorema van Pythagoras. Dat deze ontwikkeling ook werkelijk in zo'n continue uitbreiding van inzichten heeft plaatsgevonden is onwaarschijnlijk. Mogelijk hebben er verschillende 'scholen' bestaan, die op basis van eigen oplossingsschema's verder probeerden te komen. Bijvoorbeeld behoren het eerder genoemde tablet VAT 6598 en een ander tablet, Db2-146, beide tot de oud-Babylonische periode, maar volgt Db2-146 een andere strategie. De probleemstelling van dit tablet betreft net als bij VAT 6598 de diagonaal in een rechthoek, maar het probleem wordt hier via de manipulatie met vlakken opgelost. (In de beschrijving hieronder is de methode sec weergegeven zonder berekeningen. Het oud Babylonisch gebruikt een sexadecimaal stelsel, wat niet altijd in eenvoudige decimale getallen kan worden omgezet. De getallen zijn door aanduidingen tussen blokhaken vervangen.)

[29]
De diagonaal is 1 1/4 en de oppervlakte is 3/4. Hoe groot zijn de lengte en de breedte?
Jij, zoals jij het uitvoert:

r.1 - Trek de diagonaal en zijn tegenoverliggende en voeg ze samen [=kwadrateren] tot het 'grondvlak'.
r.2 - Kopiëer de oppervlakte twee maal en neem [de uitkomst] af [van het grondvlak]. Dit wordt het 'overblijfsel'.
r.3 - Bepaal de vierkantzijde [van het overblijfsel] en breek die door de helft. [Dit is de middelaar.]
r.4 - Kwadrateer [de middelaar] en dat is dan de (???).
r.5 - [Plaats] de oppervlakte [=3/4] 'over' de (???) en neem de vierkantzijde.
r.6 - Teken deze [zijde] en zijn tegenoverliggende in.
r.7 - Voeg de één samen [met de middelaar] en neem van de ander [van de middelaar] af.
r.8 - Dat maakt de lengte 1 en de breedte 3/4.

Hoewel de tekst niet vergezeld gaat van een illustratie, kan het hypotenuse-diagram van Zhao (zie de pagina 'Zhou bi' kosmologie) hier met succes worden ingezet. Dit diagram vormt een verdere uitwerking van het patroon zoals dat bij enkele dolmens wordt gevonden.

Door de diagonaal van de rechthoek uit de opdracht te kwadrateren ontstaat het gele grondvlak van de linker figuur. In de tekst heet dit het samenvoegen van de diagonaal met zijn tegenoverliggende. (NB. Tegenwoordig zijn wij geneigd een oppervlakte te zien als gevolg van twee haakse lijnen, maar hier wordt een vierkant voorgesteld als de spanruimte tussen twee tegenover elkaar liggende lijnen.) Van het vierkant moeten vervolgens twee rechthoeken worden weggenomen. Zonder minstens één van de rechthoeken te verknippen, gaat dat niet lukken. Het hypotenuse-diagram biedt hier een elegante oplossing, die ook in de rest van de tekst nuttig blijkt. De vier driehoeken (twee vaal-gele en twee fel-gele) in het vlak vormen samen de twee rechthoeken, die van het grondvlak afgenomen moeten worden. Het 'overblijfsel' (regel 2) bevindt zich tussen de vier rechthoekige driehoeken (oranje). Uit het hypotenuse-diagram kunnen vervolgens twee zaken worden begrepen:
(1) Vier rechthoeken samen met het overblijfsel vormen het complete veld van het hypotenuse-diagram. De oppervlakte van één rechthoek samen met een kwart van het overblijfsel (de ??? uit regel 4) resulteert dan in een kwart van het veld (het blauwe vierkant - regel 5 - middelste figuur).
(2) Een halve zijde van het overblijfsel (de middelaar van regel 3) vormt het lengteverschil van de zijde van het blauwe vierkant met zowel de één als de andere rechthoekzijde (regel 7).
De oppervlakte van de rechthoek was gegeven en die van het overblijfsel kon worden berekend met behulp van de diagonaal, zodat ook de oppervlakte van van het blauwe vierkant bekend is. Zo wordt het mogelijk om een vierkantzijde ervan te nemen. Door de 'middelaar' eraan toe te voegen dan wel ervan af te nemen (rode pijltjes in het diagram rechts), ontstaan resp. de lengte en breedte van de rechthoek.

Samengevat blijkt uit het bovenstaande, dat de 'intellectuele afstand' tussen het kelderpatroon van enkele dolmens en de vroegste geschreven wiskundebronnen niet zo groot is. Er kunnen fasen in de oplossingsmethodiek worden aangewezen, die een geleidelijke ontwikkeling voorstaan ook al zal die ontwikkeling vrij grillig zijn verlopen. Op de pagina D22 en vergrote dolmens wordt gesteld dat het kelderpatroon eerder een bijproduct van de constructie van de keldervorm lijkt te zijn dan het uiteindelijke doel. De Neolitische mens zal met zijn megalithische bouwwerken geen wiskunde hebben willen bedrijven. Men wilde iets met de keldervorm bereiken en deed dat door de bestaande inzichten erbij te betrekken. Op de pagina 'Zhou bi' kosmologie wordt aan dat 'iets' een mogelijke invulling gegeven. Om een beter resultaat te verkrijgen (en dat niet alleen bij de dolmens) zullen de inzichten stap voor stap zijn verdiept.