Hunebedden in verhouding

Over oriëntatiepatronen bij hunebedden (in Europese contekst)

’Zhou bi’ kosmologie [11.1]

NB: Hier wordt regelmatig gebruik gemaakt van de inzichten op de pagina’s Oriëntatierooster en Meetkunde in de oudheid, zonder dat er expliciet naar wordt verwezen.

Deze pagina handelt over het eerste deel van de Zhou Bi Suan Jing (Arithmetical Classic of the Gnomon and the Circular Paths of Heaven), genaamd ’Het boek van Shang Gao’. Over dit kleine stukje tekst lopen de meningen ver uiteen. Het wordt als een bewijs voor het theorema van Pythagoras gezien (v.d. Waerden [11.2]), maar ook als een half-wiskundige tekst op basis van numerologische beginselen (Cullen [11.3]). Regel 10 en 11 hieronder zijn dusdanig cryptisch, dat er tot nu toe geen bevredigende vertaling voor gevonden is. De opvattingen op deze pagina sluiten aan bij het tweede deel van het boek, waarin de cirkel en het vierkant de basis van de kosmos vormen. De cirkel staat voor de hemel en het vierkant voor de aarde. Na een inleidend woord, waarin Shang Gao wordt geprezen om zijn kennis van de getallen, vervolgt de tekst:

Cullen wijst op een afwijking van het normale taalgebruik in het klassiek chinees: De hypotenuse tussen de basis en de staander van een blokhaak wordt altijd ’boogkoord’ genoemd in plaats van ’diameter’ (r.9). Het volgende kan als verklaring worden aangedragen.

Over het algemeen wordt de tekst gelezen als een probleem met bijbehorend antwoord. Misschien komt het hierdoor, dat er in eerste instantie aan een blokhaak als resultaat wordt gedacht. De opdracht ’vouw een blokhaak’ kan echter ook worden gelezen als het vervormen van een blokhaak. In dat geval klopt het, dat de tekst niet spreekt over ’boogkoord’. Na het vouwen bestaat de oorspronkelijke blokhaak immers niet meer. Het boogkoord van de ongevouwen blokhaak (basis 3 en staander 4+5=9) bedraagt 9,5 en niet 5. Op deze pagina wordt een interpretatie voorgesteld, waarbij ’halveer dit/hem’ niet aan een blokhaak, maar aan de uitkomst van het kwadrateren refereert. De tekst wordt begrepen als een soort handleiding voor een oude praktijk - de constructie van een 3:4:5-driehoek. Deze ’handleiding’ zou net zo goed geschreven kunnen zijn voor het construeren van het kelderpatroon met ingesloten driehoek van sommige hunebedden en dolmens. Vier belangrijke elementen komen namelijk met elkaar overeen en staan in dezelfde logische volgorde:

1. De blokhaak stamt van de kwadraten-tabellen.
Bovenstaande tekst vormt het antwoord op een vraag naar de afmetingen van hemel en aarde. In plaats van een berekening, presenteert Shang Gao een visie op de geometrische vormen met als conclusie, dat ze uiteindelijk via de blokhaak van de kwadratentabellen stammen. Hier wordt waarschijnlijk niet bedoeld, dat de rechte hoek van een blokhaak uit een berekening met kwadraten kan worden gevonden, zoals bijv. in het theorema van Pythagoras. De oude wiskundeteksten leiden de zijden in een rechthoekige driehoeken van de proporties af, zonder zich om de rechte hoek te bekommeren. Zij zijn verankerd in het proportionele denken en met het patroon van drie diagonalen in een rooster wordt altijd een rechthoekige driehoek verkregen. Dat kan hier zeker zijn bedoeld. In ieder geval sluit Zhao’s commentaar op regel 6 bij deze denkwijze aan. Hij gaat ervan uit, dat het onderwerp vanaf regel 6 verder proportioneel wordt ontwikkeld.

2. Eerst moet de proportie worden gekwadrateerd.
In zowel de Song- als de Qian-editie staan we voor de vraag, wat de tekst met ’het buitenste’ bedoelt. ’Zijn (= een blokhaak) buitenste’ (Qian-editie) is onduidelijk, maar ’buiten-kwadrateren’ (Song-editie) klinkt wel heel vreemd. Echter, in het patroon (figuur links) met de proportie 1:N = N:N2 ligt de maatvoerende eenheid (de 1, oranje in de figuur) buiten de blokhaak. Mogelijk refereert de term ’het buitenste’ daaraan. In dat geval geven beide edities toch min of meer dezelfde lezing, waarbij de basis van de blokhaak wordt gekwadrateerd met het ’buitenste’ eraan toegevoegd (de 1, al dan niet gekwadrateerd). Dit levert inderdaad een dubbele diagonaal.

3. Halveren.
’Halveer dit’ verwijst naar de dubbele diagonaal. Als commentaar bij de diagonaal uit regel 9, schrijft Zhao: ’de natuurlijke proporties met elkaar in overeenstemming’. Dat is precies, wat het kwadrateren en halveren teweeg brengt. Echter toont Zhao’s commentaar bij regel 10 en 11 geen werkelijk inzicht in dit proportionele denken. Daar wordt een bepaalde proportie in een rooster via de diagonalen omgezet in de verhouding van de zijden van een rechthoekige driehoek, maar Zhao begrijpt de proportie als de onderlinge verhouding van de zijden zelf. Zijn manipulatie van de bijbehorende vlakken past beter bij zijn eerste figuur (het hypotenusediagram) dan bij deze tekst.

4. Pas hen samen in een kring.
Als in regel 10 en 11 het kwadrateren en halveren de diagonaal oplevert, dan verwijst ’plaats hun samen’ naar de diagonaal en de te breken blokhaak. Door de blokhaak over de diagonalen van de figuur te passen ontstaat de gewenste driehoek. Oftewel: breek de staander van de blokhaak en pas de delen over de drie diagonalen in een kring. Omdat deze blokhaak met benen 3 en 9 van de kwadratentabellen stamt, heeft de diagonaal een proportie 1:3 in het rooster. (Dit vanwege de congruentieregels.) Met deze proportie ontstaat inderdaad een driehoek met de verhouding 3:4:5.

Het boek vervolgt in regel 14 en 15 met het ’stapelen’ van twee blokhaken. Het tempo van de tekst lag al hoog, maar er gaat nog een schepje bovenop. Hier wordt aan een proces gerefereerd, waar een buitenstaander alleen nog naar kan raden. Omdat 25 als oppervlakte wordt genoemd, gaat het hier om gevouwen blokhaken en mogelijk dus om het patroon. Door twee patronen zodanig tegenover elkaar te plaatsen, dat ze een oppervlak van 25 omsluiten, ontstaat een figuur die lijkt op de eerste illustratie (bekend onder de naam hypotenuse-diagram) bij Zhao’s essay dat aan het ’Boek van Shang Gao’ werd toegevoegd. Hoewel wij tegenwoordig van de lengte en de breedte uitgaan om een vierkant te vormen, hoeft het tegenover elkaar plaatsen van één zijde niet te bevreemden. Ook in de Sulva-sutra worden lijnen tegenover elkaar geplaatst om een vierkant te creëren, waarbij het hypotenuse-diagram mogelijk eveneens de context vormt (zie de pagina Meetkunde in de oudheid). Op deze wijze geïnterpreteerd, is in regel 14 het noemen van de afmeting van 25 geen constatering, maar een voorwaarde om een vierkant te krijgen.

Met behulp van de 1:3-proportie in het rooster, kunnen grids worden opgezet, waarmee de verhouding tussen de zijdes van de driehoek wordt aangetoond (de twee linker figuren). Door in de figuur vier gevouwen blokhaken’op te stapelen’ en beide grids in te tekenen, ontstaat een kopie van Zhao’s illustratie (rechter figuur). De andere illustraties bij Zhao’s essay schijnen van latere datum en lijken een vage herinnering aan het draaien van het grid weer te geven. Overigens wekt Zhao’s commentaar bij regel 10 en 11 een zelfde soort gevoel. Hij leest in de Zhou bi het woord ’kwadrateren’ en denkt meteen aan het manipuleren van vlakken. Zhao staat al in de traditie van het theorem van Pythagoras, maar het boek van Shang Gao reikt nog niet zover. Daar vloeien de meetkunde, de kosmologie en volgens Cullen ook de numerologie nog in elkaar over.

Conclusie

Nadat op de pagina Meetkunde in de oudheid is gebleken, dat de constructie van het kelderpatroon nauwgezet de proportionele aanpak van de Jiuzhang suanshu (Nine chapters on Mathematical Art) en het algoritme van Pythagoras volgt, schijnt het boek van Shang Gao nu in dezelfde traditie te staan. Het boek staat zelfs dichterbij het patroon, omdat het een deel van de constructie werkelijk beschrijft (het plaatsen in een ring). Het is een interessant gegeven, dat de tekst vanuit een kosmologische opvatting is geschreven. De proportie van de blokhaak staat centraal, daar komt het vierkant uit voort en tenslotte ook de cirkel. Dat het vierkant de aarde voorstelt en de cirkel het hemelgewelf, weerspiegelt de bouwstijl van enkele dolmens. Daar wordt een rechthoekige driehoek omsloten door een min of meer rechthoekige kelder. De kelder wordt met een heuvel omgeven. Op de pagina Ellipsvormige heuvels blijken eigenlijk alle heuvels langs de Oostzee van twee bekende proporties af te stammen: de 1:2 en de 3:4 - proportie. Als de kosmologie van de Zhou bi op zo’n dolmen wordt toegepast, dan zou dat een kosmos in het klein kunnen voorstellen: De kelder als aarde en de heuvel als hemelgewelf, gebaseerd op de balans van de juiste proporties (de ingesloten rechthoekige driehoek). Echter bestaan er afwijkende heuvelvormen en zit er maar liefst 3000 jaar en 10000 km tussen het China van de Zhou bi en het Mecklenburg van de vergrote dolmens. Aan de andere kant: Als het proportionele denken deze weg heeft kunnen afleggen, waarom dan de kosmologische visie niet?