Hunebedden in verhouding

Over oriëntatiepatronen bij hunebedden (in Europese contekst)

Meetkunde in de oudheid

Op de pagina Oriëntatierooster wordt de keldervorm van enkele dolmens vergeleken met de geometrische vorm hieronder. Deze vorm wordt als volgt opgezet. In een rooster wordt steeds de diagonaal met de proportie 1:2 gebruikt. Drie van deze diagonalen worden aansluitend in een soort lus getekend, waarna een integrale rechthoekige driehoek ontstaat.

Vanuit de proportie 1:2 en de congruentieregels kan worden verklaard, dat we hier met een 3:4:5-driehoek te maken hebben. De driehoeken CDE en ACE zijn congruent met BEF, zodat CD:CE:AC = 1:2:4. Met een eenvoudige berekening kunnen de zijden worden achterhaald. Vanwege de constructie is het duidelijk dat AD en BE elkaar haaks snijden.

De stap van proportie 1:2 naar een willekeurige proportie 1:N is vrij eenvoudig. Door diagonaal BE naar boven toe te verlengen ontstaat nog een congruente driehoek ACG [10.1]. Het is duidelijk dat CE:AC:CG = 1:N:N2. Voor een dubbele diagonaal levert dit de lengte EG = N2 + 1, zodat voor een enkele diagonaal geldt: AB = ½ (N2 + 1). Deze methode komt overeen met het algoritme voor het vinden van rechthoekige driehoeken, dat aan Pythagros wordt toegschreven [10.2]. Voor de rechthoekzijden geldt BC = ½ (N2 - 1) en AC = N.

De volgende stap naar een algemene proportie M:N vereist enig inzicht in hoe de proporties in de figuur doorwerken. Hieronder wordt de proportie 3:7 als voorbeeld gebruikt, zoals die voorkomt in probleem 9.14 van de Jiuzhang suanshu (Nine Chapters on Mathematical Art - 200 v.Chr.) [10.3].

Van P naar B naar D wordt er steeds proportioneel vergroot met factor N/M. Bij D levert dit een breuk volgens D = P × N2/M2. Door voor P de lengte M2 te kiezen, wordt het rekenwerk aanzienlijk vereenvoudigd. In dat geval krijgen we B = N/M × P = M × N en D = N/M × B = N2. Uit de constructie van de figuur kan van de ingeschreven rechthoekige driehoek de onderlinge verhouding van de zijden worden afgelezen. Daartoe worden de stappen in de eerste kolom van de onderstaande tabel gevolgd. De methode vindt zijn parallel in de oplossing van probleem 9.14 uit de Jiuzhang suanshu (de andere kolommen). Daar moet de afstand van een wandeling worden berekend aan de hand van proporties. Opvallenderwijs berekenen Kangshen en v.d. Waerden met hun vertaling de zijde A wel correct, maar ieder verschillend.


Ook Plato’s methode om rechthoekige driehoeken te vinden [10.5], kan hieruit worden herleid. Daarvoor wordt diagonaal C ingevuld bij A = C - M2 en worden alle zijden vervolgens verdubbeld. Dat levert: B = 2MN, C = M2 + N2 en A = N2 M2. Plato’s methode vormt derhalve een veralgemenisering van die van Pythagoras. Overigens waren het niet de Grieken, die deze methode hebben bedacht. Het veel oudere kleitablet Plimpton 322 uit de oud-Babylonische periode (2000-1600 v.Chr.) kan ook in deze traditie worden geplaatst. Dit tablet bevat vier kolommen met getallen en er zijn waarschijnlijk twee aan het begin vanaf gebroken. De overgebleven kolommen wijzen erop, dat het o.a. om de breedtes en de diagonalen van rechthoekige driehoeken gaat. Van alle speculaties over de afgebroken kolommen, blijken de ideeën van Bruins het best bij het Mesopotamische gedachtengoed te passen [10.6]. Hij toont aan, dat de tabel kan zijn opgesteld, beginnend met paren reciprocals die gelijkmatig aflopen. (Reciprocals zijn getallen die bij vermenigvuldigen een macht van 60 opleveren - in dit geval 600 = 1.) Door deze reciprocals als de proportie M:N te beschouwen, ontstaat de volgende situatie: B = 2 × r × 1/r = 2, C = r2 + 1/r2 en A = r2 - 1/r2. Omdat gekwadrateerde reciprocals van 1 ook weer reciprocals zijn, kan willekeurig welk paar reciprocals worden opgevat als kwadraat van een ander stel. Verder blijkt men op het tablet met B = 1 te werken, zodat vanwege de congruentie ook A en C moeten worden gehalveerd. Dit levert dan B = 1, C = (r + 1/r) / 2 en A = (r - 1/r) / 2 en dat is de formule waarlangs Bruins de breedtes en de diagonalen in de tabel vindt. [10.7]

Hoewel de proportionele aanpak een handige methode is voor manipulaties op basis van rechthoekige driehoeken, heeft zij wel een nadeel. Het is niet inzichtelijk welke driehoekzijden uit welke proportionele getallen ontstaan. Het zou kunnen zijn, dat men al vroeg voor dit probleem een oplossing zocht door de proportionele getallen gelijk te kiezen aan die van de rechthoekzijden. In dat geval moet de figuur anders worden benaderd.

Eveneens uit de oud-Babylonische periode stamt een tablet met opgaven over rechthoekige driehoeken (gecodeerd: VAT 6598) [10.8]. Hier (opgave XVIII) worden de leerlingen gevraagd de diagonaal van een rechthoek te vinden, waarvan de zijden gegeven zijn. Er volgt geen afdoende berekening, maar een benadering volgens de methode: C = B + ½ (A2 / B). Aan de hand van het proportiepatroon kan deze benadering worden begrepen. In de figuur links geldt D:A = A:B, waaruit volgt dat D = A2 / B. Na omcirkelen (groen) blijkt dat C kan worden benaderd met C = B + ½ D. De figuur hiernaast heeft de proportie 3:4 als basis en dat levert een vrij grote fout. Bij de meeste integrale rechthoekige driehoeken is zijde A klein ten opzicht van de zijden B en C, zodat de benadering daar een beter resultaat oplevert.

Algemeen wordt aangenomen dat het geometrisch denken zich vanuit Mesopotamië naar Egypte en Griekenland heeft verspreid. Tablet VAT 6598 kan in dit licht worden gezien als een aanloopje naar het theorema van Pythagoras. In ieder geval blijkt de interesse aanwezig om vanuit de zijden en niet vanuit de proportie te werken. Ook het theorema kan uit het proportiepatroon worden beredeneerd, maar daarvoor moet D worden verlengd, zoals eerder nodig bleek voor de uitwerking van de proportie M:N. Net als bij het kleitablet wordt het patroon benaderd vanuit de driehoek met de proportie als rechthoekzijden. In de figuur links geldt D:B = B:A, waaruit volgt dat D = B2 / A. Tevens geldt nu C:A = (D+A):C, waaruit volgt dat C2 = (B2/A + A) × A. Dit levert het theorema C2 = A2 + B2.

De uitwerkingen rechtstreeks vanuit de rechthoekzijden zijn deels algebraïsch, omdat ze niet geheel uit de figuur kunnen worden afgelezen. In die zin staat het wiskundig inzicht er op een ’hoger’ plan.

Overigens wordt ook de hindoeistische Sulva Sutra wel aangewezen als oorsprong van het theorema. In het deel van Baudhayana (ongeveer 700 v.Chr.) lezen we de volgende uitspraken:

[10.9]
1.9
De diagonaal van een vierkant vormt de zijde van een twee keer zo groot vierkant.

1.10
Als de breedte gelijk is aan de zijde van een vierkant en
de lengte gelijk aan de zijde van een dubbel zo groot vierkant,
dan is de diagonaal gelijk aan de zijde van een drie maal zo groot vierkant.

1.11
Omgekeerd geldt dan voor een zijde van een vierkant,
welke drie maal zo klein is als een ander vierkant,
dat die zijde één-negende van dat andere vierkant bedraagt.

1.12
De vlakken, die met de lengte en breedte van een vierkant worden gemaakt,
zijn samen gelijk aan het vlak dat met de diagonaal wordt gemaakt.

1.13
Dit wordt waargenomen bij rechthoeken met de zijden 3 en 4, 12 en 5, 15 en 8, 7 en 24, 12 en 35, 15 en 36.


De uitspraken in de tekst worden steeds algemener. Uitspraak 1.9 kan vrij eenvoudig meetkundig worden bewezen. Dat geldt niet voor uitspraak 1.10, omdat de zijden geen integrale lengtes ten opzichte van elkaar vormen. Hoewel uitspraak 1.12 duidelijk maakt, dat men het theorema kende, ontbreekt in de tekst het bewijs. Blijkbaar wilde men met deze tekst de rol van de rechthoeken in uitspraak 1.13 verduidelijken. De tekst is niet bedoeld als wiskundeles, maar als leidraad voor het manipuleren van vormen.

Het rooster blijkt een handig hulpmiddel te zijn om meetkundige problemen via verhoudingen en congruenties op te lossen. Langs een aantal tussenstations ontstaat een doorlopende ontwikkeling vanaf het kelderpatroon van enkele dolmens tot aan het theorema van Pythagoras. Dat deze ontwikkeling ook werkelijk in zo’n continue uitbreiding van inzichten heeft plaatsgevonden is onwaarschijnlijk. Mogelijk hebben er verschillende ’scholen’ bestaan, die op basis van eigen oplossingsschema’s verder probeerden te komen. Bijvoorbeeld behoren het eerder genoemde tablet VAT 6598 en een ander tablet, Db2-146, beide tot de oud-Babylonische periode, maar volgt Db2-146 een andere strategie. De probleemstelling van dit tablet betreft net als bij VAT 6598 de diagonaal in een rechthoek, maar het probleem wordt hier via de manipulatie met vlakken opgelost. In de beschrijving hieronder is de methode sec weergegeven zonder berekeningen. Het oud Babylonisch gebruikt een sexadecimaal stelsel, wat niet altijd in eenvoudige decimale getallen kan worden omgezet. De getallen zijn door aanduidingen tussen blokhaken vervangen.

Hoewel de tekst niet van een illustratie vergezeld gaat, kan het hypotenuse-diagram van Zhao hier met succes worden ingezet [10.11]. Dit diagram vormt een verdere uitwerking van het patroon hierboven, zoals dat bij enkele dolmens wordt gevonden (zie de pagina ’Zhou bi’ kosmologie).

Regel 1 en 2. Door de diagonaal van de ’oppervlakte’ uit de opdracht te kwadrateren ontstaat het gele grondvlak van de linker figuur. In de tekst heet dit het samenvoegen van de diagonaal met zijn tegenoverliggende. Tegenwoordig zijn wij geneigd een oppervlakte te zien als gevolg van twee haakse lijnen, maar hier wordt een vierkant voorgesteld als de spanruimte tussen twee tegenover elkaar liggende lijnen. Van het vierkant moeten vervolgens twee ’oppervlaktes’ worden weggenomen. Zonder de ’oppervlaktes’ te verknippen, gaat dat niet lukken. Het hypotenuse-diagram biedt hier een elegante oplossing, die ook in de rest van de tekst nuttig blijkt. De vier driehoeken (twee vaal-gele en twee fel-gele) in het vlak vormen samen de twee ’oppervlaktes’, die van het grondvlak afgenomen moeten worden. Het ’overblijfsel’ bevindt zich tussen de vier rechthoekige driehoeken (donker-oranje).
Regel 3 tot 6. Het kwadraat van de halve zijde van het ’overblijfsel’ levert het donker-oranje vierkantje in de middelste figuur - dat wat in de hand is. Vervolgens moet de ’oppervlakte’ over ’de hand’ worden geplaatst. Dit kunnen we niet letterlijk nemen, omdat dan de verdere berekening niet meer klopt. Het woordje over kan het beste worden begrepen als een samenvoeging - de modern wiskundige term vereninging met. Met een kleine aanpassing van de ’oppervlakte’ is het inderdaad mogelijk deze met ’de hand’ samen te voegen tot een vierkant (blauw). Dit is dan de zijde met zijn tegenoverliggende.
Regel 7 en 8. Door in het blauwe vierkant van de ene zijde de ’middelaar’ af te nemen en aan de andere toe te voegen, worden de maten van de zijdes van de ’oppervlakte’ gevonden (rode pijltjes in de rechter figuur). Uiteindelijk blijken we met een verkleining van de 3:4:5-driehoek van doen te hebben: ¾:1:1¼.

De oplossingstrategie van Db2-146 wordt verder uitgewerkt in een methode, die wel de ’geometrische algebra’ wordt genoemd. Dit is het oplossen van algebraïsche problemen door ze als meetkundige problemen te benaderen. In deze traditie staat ook het tablet YBC 6967. Hier worden twee reciprocals gezocht met een onderling verschil van 7. De oppervlakte van een rechthoek met reciprocals als zijde is per definitie bijvoorbeeld 1 of 60. Daarvan maakt de oplossing handig gebruik (regel 3 hieronder). Van de strategie van Db2-146 is alleen het manipuleren met de rechthoek en het blauwe vierkant over gebleven. Tussen blokhaken staan verwijzingen naar de uitwerking van Db2-146.

Deze getallen zijn inderdaad reciprocals (5 × 12 = 60) en verschillen 7 van elkaar. Van de oplossing zijn vooral regel 5 en 7 interessant, omdat ze voor een puur algebraïsche uitwerking overbodig zijn. Na weglaten blijft de bewerking van de volgende regel nog steeds begrijpelijk. Ook de aanvulling in regel 6, dat 3½ de 12¼ [de hand] vormde, is in algebraïsch opzicht geen verduidelijking. Daarentegen verhelderen deze opmerkingen wel de wijze waarop de geometrische vormen worden gemanipuleerd. In regel 5 begint het tekenwerk met het uitzetten van het blauwe vierkant. Vervolgens wordt de middelaar (3½) gebruikt om de rechthoek te tekenen.

De geometrische algebra van Mesopotamië gaat verder dan de bovenstaande bewerkingen. Dit komt bijvoorbeeld goed uit op het tablet BM13901. De eerste twee opgaven kunnen weer volgens de bovenstaande methode worden begrepen als het vinden van één van de rechthoekzijden [10.13]. Na dit ’opstapje’ worden de opgaven snel moeilijker en zijn aangepaste constructies nodig om een oplossing te vinden. Desondanks vormen het blauwe vierkant en de ’overblijfsel’ in de uitwerking van Db2-146 een belangrijk deel van de oplossing.

Conclusie

Uit het bovenstaande blijkt, dat de ’intellectuele afstand’ tussen het kelderpatroon van enkele dolmens en de vroegste geschreven wiskundebronnen via een systematische aanpak kan worden overbrugd. De clou is steeds het proportioneel verlengen van één van de rechthoekzijden. Er kunnen fasen in de oplossingsmethodiek worden aangewezen, die een geleidelijke ontwikkeling voorstaan ook al zal die ontwikkeling vrij grillig zijn verlopen. Daarbij volgen de meetkundige inzichten elkaar zowel theoretisch als chronologisch in de juiste volgorde op. Verder lijkt deze ontwikkeling zich niet tot één regio te hebben beperkt. Zonder op de vraag in te gaan wie wie heeft beïnvloed, blijkt het hypotenuse-diagram van Zhao zeer bruikbaar om een opgaven uit Mesotamië te begrijpen. Dit diagram blijkt op de pagina ’Zhou Bi’ kosmologie terug te voeren op hetzelfde kelderpatroon van de dolmens.

Op de pagina Oriëntatierooster wordt gesteld, dat het kelderpatroon eerder een nevenproduct van de constructie van de keldervorm lijkt te zijn dan het uiteindelijke doel. De Neolitische mens zal met zijn megalithische bouwwerken geen wiskunde hebben willen bedrijven. Men wilde iets met de keldervorm bereiken en deed dat door de bestaande inzichten erbij te betrekken. Op de pagina ’Zhou bi’ kosmologie wordt aan dat ’iets’ een mogelijke invulling gegeven. Om een beter resultaat te verkrijgen (en dat niet alleen bij de dolmens) zullen de inzichten stap voor stap zijn verdiept.