Hunebedden in verhouding

Over oriëntatiepatronen bij hunebedden (in Europese contekst)

Oriëntatierooster

De plattegronden op deze pagina zijn getekend op basis van:
- Bronneger D22 - opgravingsplattegrond, van Giffen [6.1] *)
- Bronneger D25 - eigen metingen (geïdealiseerde versie)
- Drouwenerveld D26 - eigen metingen
- Emmen D38 en D39 - eigen metingen
- Emmen D40 - opgravingsplattegrond, van Giffen [6.2]
- Heveskesklooster G5 - opgravingsplattegrond, Lanting [6.]
- Mechelsdorf 12 **) - eigen metingen
- Barkvieren 92 - eigen metingen
- Serrahn 540 - opgravingsplattegrond, Schuldt [6.4]
- Serrahn 541 - veldplattegrond, Schuldt [6.5]
- Frauenmark 632 - eigen metingen
- Bourbouillet - veldplattegrond, Chevalier [6.6]
- Bougon F - veldplattegrond, Chevalier [6.7]
- Grammont 1 - veldplattegrond, Chevalier [6.8]
- Gouziac-S - veldplattegrond, Chevalier [6.9]
- Pichouno - veldplattegrond, Chevalier [6.10]
*) Naar aanleiding van eigen metingen is de plattegrond enkele grade gedraaid.
**) De nummering van de dolmens in Mecklenburg het systeem van Schuldt.

Op deze pagina worden voor Serrahn 541 en de Franse dolmens gebruik gemaakt van veldplattegronden. Omdat dit soort plattegronden over het algemeen een monument minder betrouwbare weergeven, is hier een verantwoording op zijn plaats.
Serrahn 541 bestaat niet meer. De veldplattegrond komt van Schuldt. Bij vergelijking van zelf gemeten bestaande dolmens met de betreffende veldplattegronden van Schuldt, komen dezen goed met elkaar overeen; zij het, dat Schuldt de kleinere stenen te groot afbeeldt en de ingangspartij onder een afwijkende hoek plaatst. In Serrahn 541 komen dezen echter niet voor.
De veldplattegronden van de Franse dolmens zijn het werk van Chevalier. Over hem schrijft Hoskin: "Yves Chevalier was meticulous in the extreme" [6.11]. Hoskin, als astro-archeoloog, plaatst deze opmerking met het oog op de zuiverheid van de oriëntatiebepalingen, die hij bij andere archeologen blijkbaar mist.
Overigens wordt op basis van de veldplattegronden geen nieuw patroon ingevoerd, in overeenstemming met de eisen op de pagina Verantwoording. Het gehanteerde patroon wordt gevonden bij andere monumenten en de veldplattegronden worden alleen gebruikt om variaties te presenteren.

Een patroon op het spoor ...

Hunebed D22 bezit enkele opvallende kenmerken. Sluitsteen S2 staat met de vlakke kant naar buiten in plaats van naar binnen. In de lengte bestaat de kelderwand aan de ene kant uit twee en aan de andere kant uit drie draagstenen. Over het algemeen zijn dit er evenveel. Twee van de drie (Z1’a en Z1’b) werden door van Giffen in eerste instantie voor één aangezien (als Z1’). Pas bij de opgraving van het hunebed bleken er twee kleine in plaats van één normale draagsteen te zijn gebruikt. Omdat de afstanden tussen de draagstenen vrij klein zijn, lijkt D22 enigszins een kruising tussen een vergroot dolmen en een hunebed te zijn.

Tijdens een survey van dolmen-plattegronden in Mecklenburg, kwam bij Serrahn 541 een vergelijkbare plattegrond als bij D22 tevoorschijn. Van Serrahn 541 bestaat geen opgravingsplattegrond en het dolmen is tijdens het machtsvacuüm in de overgangsfase van Oost- naar het verenigd Duitsland door de landeigenaar verwijderd. Helaas kunnen we dus niet over een nauwkeurige plattegrond beschikken. De kelders van D22 en Serrahn 541 zijn gelijkvormig, maar verschillen in formaat. In D22 valt de positie van de uitsparing van de merkwaardige dubbelsteen Z1’ samen met de positie van de scheidingswand in Serrahn 541. Bovendien blijkt de buitenkant van sluitsteen S2 in D22 op dezelfde schuine lijn te staan als de binnenkant van de overeenkomende steen bij Serrahn 541 (blauwe pijlen in figuur I hieronder). Naderhand werd het kelderpatroon van D22 en Serrahn 541 nog bij het enige Nederlandse dolmen (G5) en bij twee dolmens in Mecklenburg teruggevonden. Bij Heveskesklooster G5 valt de schuine zijde net als bij D22 langs de buitenkant van de sluitsteen (figuur II). Bij de Mecklenburger dolmens valt de schuine zijde daarentegen samen met de drempelsteen (figuur III). Serrahn 541 speelt met drempelsteen èn tweede sluitsteen als het ware een dubbelrol. Het patroon is in de keldervorm gespiegeld aanwezig: enerzijds, zoals bij D22 en G5 met een sluitsteen (figuur I) en anderzijds, zoals bij de vergrote dolmens met een schuin geplaatste drempelsteen (figuur III).

De gelijkvormigheid in de kelder kan nauwelijks bij toeval zijn ontstaan. Bovendien maakt de grote afstand tussen de monumenten (400 km) het onmogelijk, dat het patroon simpelweg werd gekopieerd. Na enig puzzelwerk werd een passende constructie voor de keldervorm gevonden, die gemakkelijk wordt onthouden. Daarmee kan na verstrijken van lange tijd en op ver van elkaar verwijderde plaatsen steeds hetzelfde patroon zijn verkregen. Het begint ermee, dat de schuine afsluiting van de dolmen kan worden bereikt met een diagonaal in een dubbel vierkant. Hier levert de verhouding 1:2 een hoek van 117, gelijk aan die tussen de afsluiting en de lengterichting. Deze diagonaal wordt driemaal rond getrokken, waarna een ingesloten rechthoekige driehoek ontstaat met de verhouding 3:4:5 tussen de zijden (voor een bewijs zie de pagina Meetkunde in de oudheid). De top van de driehoek wordt ingeklemd door een aan de basis parallel lopende lijn. De ontstane figuur bepaalt de vorm van de kelder (lichtrood in de figuur hieronder).

Behalve met diagonalen in de proportie 1:2 is het mogelijk om de 3:4:5-driehoek met diagonalen in de proportie 1:3 te construeren. Deze wijze van construeren vinden we terug bij de hunebedden D25 en D26. Beide hunebedden hebben meer stenen dan voor het vergrote dolmen werd gebruikt. Door alleen de oostelijke helft in het patroon te betrekken, ontstaat toch een dolmenachtige situatie. Bij D25 wordt deze benadering ondersteund door een breedteverschil van 30 cm tussen de oostelijke en westelijke helft van het hunebed. Bovendien wijken enkele oriëntatielijnen in beide helften van elkaar af (respectievelijk 143° en 140°). Op de pagina Hunebedden met satelieten wordt hiervoor een verklaring gevonden.

Naar aanleiding van Heggy’s eerste eis (zie de pagina Verantwoording), moeten we ons afvragen, of de neolithische mens in staat was om een dergelijke opzet te gebruiken. Maakte het uitzetten van een vierkantsrooster deel uit van hun gereedschapskist? In één van de vroegste wiskundige verhandelingen, de Sulva-sutra (rond 800 v.Chr.) wordt het opzetten van een vierkant als een standaardconstructie aangeboden. Er is alleen een koord en een stok voor nodig. Dit soort geschriften vormen de neerslag van oude tradities. Hoever de traditie in het verleden terug gaat, is niet te zeggen. Het is in ieder geval niet onmogelijk, dat deze tot in het Neolithicum reikt. In de beschrijving hieronder verkrijgt men een vierkantrooster door ook de ’diameters’ erbij te betrekken.

[6.12]
Wie een vierkant wil maken, moet een koord nemen ter grote van het vierkant [= een zijde]. Zet knopen aan de uiteinden en markeer het midden. Zet [daarmee] een oost-west-lijn uit met een stok [op de markering] in het midden. Leg beide knopen om de stok en trek een cirkel met behulp van de markering. Zet stokken op beide einden van de diameter [= de snijpunten van de cirkel met de oost-west-lijn]. Met één knoop om de oostelijke stok wordt met behulp van de andere [knoop] een cirkel getrokken. Doe dit ook bij de westelijke stok. De tweede diameter [= een noord-zuid-lijn] verkrijg je met de snijpunten van beide [cirkels]. Zet stokken op beide einden van de diameter [= de snijpunten met de eerste cirkel]. Leg beide knopen om de oostelijke stok en trek een cirkel met behulp van de markering. Doe dit ook bij de zuidelijke, de westelijke en de noordelijke stok. De snijpunten van deze vier [cirkels] vormen het vierkant.

Uiteraard zijn er meer manieren om het kelderpatroon te verkrijgen. Bijvoorbeeld met behulp van het knopen-koord, zoals dat uit oude culturen bekend zou zijn (figuur rechts) [6.13]. Stap twee (groen) wordt uitgevoerd nadat eerst een diagonaal met de verhouding 1:2 dan wel 1:3 is uitgezet (blauw en oranje). Om drie redenen wordt op deze website vastgehouden aan de contructie in een rooster:
(1) Bij de dolmens heeft het rooster een eigen oriëntatie.
(2) Herhaaldelijk kunnen behalve de oriëntatie van de kelder ook andere eigenschappen (bijv. de positie van de poort) uit het rooster worden verklaard.
(3) De constructie via het rooster levert een doorlopende ontwikkeling met de vroegste bronnen van de geschreven wiskunde (zie de pagina Meetkunde in de oudheid).
Overigens is het heel goed denkbaar, dat meerdere technieken naast elkaar werden gebruikt. Het knopenkoord is een handig hulpmiddel om de spiegeling om het zuiden, een belangrijk thema van de oriëntatieroosters, te realiseren. Bijvoorbeeld kan men met een knopenkoord de basislijn op de gewenste azimut uitzetten en daarop met cirkels het rooster construeren.

Het begrip spiegeling om het zuiden heeft een toelichting nodig. Willekeurig welke azimut heeft een tegenhanger, die om het zuiden spiegelt. Hier gaat het echter om een speciaal geval van spiegeling. Een rooster wordt zodanig op de noord-zuidlijn geplaatst, dat er twee om het zuiden gespiegelde oriëntatielijnen ontstaan. Vaak betreft dit nog niet het oriëntatierooster maar een initiëel rooster. De diagonalen in dit rooster zijn dan bepalend voor de richting van het oriëntatierooster. Door het hierboven behandelde patroon vervolgens in het oriëntatierooster rond te trekken, ontstaat in het dolmen een ingeschreven 3:4:5-driehoek. In de volgende afbeeldingen staan links het initiële rooster en de diagonalen, die bepalend zijn voor de oriëntatieroosters. Rechts staan de uitwerkingen voor de bijbehorende dolmens.

oriëntatieroosters bij 167° en 193°

Via de diagonalen uit het initiële rooster worden oriëntatieroosters op 40° (blauw) en 167° (groen) verkregen. Zowel bij Frauenmark 632 als bij Barkvieren 92 is alleen het oriëntatierooster op 167° in gebruik. De spiegeling om het zuiden komt in de dolmens tot uitdrukking door respectievelijk een diagonaal en een sluitsteen. In Frauenmark 632 is de 40°-oriëntatie aanwezig als richting van de noordelijke zijsteen. Deze doorbreekt de rechthoekige vorm van de kelder, wat vervolgens weer wordt ’gecorrigeerd’ door een markering aan de sluitsteen. Barkvieren 92 lijkt op het eerste gezicht een oriëntatierooster op 40° te hebben, maar schijn bedriegt. De basis van de ingeschreven driehoek wijkt 3° af vergeleken met de betreffende zijwand en ook de top komt niet goed uit (rode cirkels in de afbeelding hierboven). Een oriëntatierooster op 43° blijkt wel mogelijk en komt in de volgende paragraaf verder aan de orde.

Bij het dolmen Serrahn 540 is er geen sprake van een initieel rooster. Het oriëntatierooster zelf is door middel van spiegeling om het zuiden opgezet. In de kelder is de spiegeling zichtbaar door de oriëntatie van de zijwanden en een diagonaal.

Een vast verband tussen 167° en 133°

Via de proportie 2:3 is een 133°-oriëntatie (= 90° + 43°) direct uit het rooster op 167° af te leiden. In Barkvieren 92 wordt het 167°-rooster als het ware om een roosterpunt (blauwe punt in de afbeelding hierboven) geroteerd *). Zoals de oostelijke sluitsteen met 193° via een proportie 1:2 in het 167°-rooster past, doet de westelijke dat met 16° in het 133°-rooster. Daarmee staan wel de oostelijke en zuidelijke en de westelijke en noordelijke wand haaks op elkaar, maar vormt de kelder geen rechthoek. In Frauenmark 632 staat de sluitsteen op een oriëntatie van 133°. De positie van deze steen is in het rooster via de proportie 2:3 vastgelegd.

Een sluitsteen op 133° vinden we evenzo bij Bronneger D22. Hier staat het oriëntatierooster op 133° en zijn de 167°-oriëntatielijnen daarvan afgeleid. Echter, theoretisch bekeken, zit er bij D22 een niet meetbare afwijking van 0,4° in de oriëntatielijnen. Op de pagina Parallelle oriëntatielijnen blijkt D22 het rooster van D21 te hebben geleend. Vervolgens blijkt op de pagina Uitlijning op hemellichamen, dat de 167° oriëntatielijnen in D21 mogelijk het resultaat zijn van een heroriëntatie. Omdat er in D21 nog steeds een oriëntatielijn op 196° mogelijk is, lijkt een initiëel rooster met diagonalen op 164° en 196° te zijn gebruikt (zie hieronder). Het oriëntatierooster komt dan uit op een oriëntatie van ½ atan(2:3) + atan(1:2) + 90° = 133,4°. Daarbij opgeteld de rotatie met de proportie 2:3 levert 133,4 + atan(2:3) = 167,1° voor de oriëntatielijn. Vanuit de spiegeling om het zuiden met proportie 1:2 komt deze lijn uit op 180 - ½ atan(1:2) = 166,7°. Wellicht is men zich bij de heroriëntatie niet bewust geweest van deze kleine afwijking.

*) Voor het oriëntatierooster op 43° zijn er twee manieren van construeren denkbaar, die onderling nauwelijks afwijken (zie het kader hierboven). Gezien de symetrische opzet van de kelder van Barkvieren 92, is het onwaarschijnlijk, dat er verschillende oriëntatieschema’s door elkaar zijn gebruikt. Vandaar dat hier voor een afleiding vanuit het 167°-oriëntatierooster is gekozen.

{Revisie}

Oriëntatieroosters bij 163° en 197°

Het initiële rooster heeft diagonalen op 43° (blauw) en 170° (groen). G5 te Heveskesklooster gebruikt de 170° als richting voor het oriëntatierooster. Eén van de diagonalen door het dolmen loopt over een roosterlijn. Bij Bronneger D22 staat het oriëntatierooster op 43° en kan op twee manieren worden gebruikt. De betreffende roosters liggen in een halve positie ten opzichte van elkaar verschoven. (Men zou ook kunnen stellen, dat het rooster een keer zo fijnmazig is.) In het ene rooster loopt er een diagonaal over een roosterlijn op 43°, in het andere staat de oostelijke sluitsteen (S2) met de vlakke buitenzijde langs een roosterlijn op 133° (zie ook het kader hierboven).

Oriëntatieroosters bij 148° en 212°

Serrahn 541 is een bijzonder geval. Een vergelijking van dit dolmen met D22 te Bronneger heeft uiteindelijk geleid tot de veronderstelling, dat er oriëntatieroosters kunnen worden ingezet om de vorm van de plattegronden te duiden. De oriëntatieroosters op 95° (blauw) en op 148° (groen) komen ieder dubbel in het dolmen voor. De diagonalen van het dolmen hebben dezelfde oriëntatie als de diagonalen van het initiële rooster. Ze lopen ieder over een roosterlijn van het bijbehorende oriëntatierooster. De oostelijke zijwand en de afscheiding in het midden staan op 212° en passen in het rooster op 148°, zodat de spiegeling om het zuiden ook in het dolmen tot uiting komt.

Het oriëntatierooster van D26 kan in verband worden gebracht met een tweede spiegeling om het zuiden: de combinatie 167° en 193°, zoals hierboven al is behandeld. De 193°-oriëntatielijn loopt vrij door de uitsparingen tussen de draagstenen, maar de 167°-lijn komt alleen met een 1:3-proportie tot uitdrukking in het oriëntatierooster. Beide spiegelingen om het zuiden zijn exact in elkaar om te zetten: ½ atan( 2:1) = ½ atan( 1:2) - atan ( 1:3). Aangezien men bij het vaste verband tussen 167° en 133° (zie hierboven) een kleine afwijking accepteerde, is het nu de vraag of men zich de exactheid realiseerde. Wel is een bewijs mogelijk, dat nauw aansluit bij het patroon in het oriëntatierooster:

Het bewijs wordt in twee stappen geleverd:
(I) de hoek tussen de gele pijlen wordt met een 1:2-proportie gemaakt (’is een 1:2-hoek’) en
(II) de gele pijlen spiegelen elkaar op het zuiden.



Stap I:
In de twee linker figuren maken de vette ongestippelde lijnen dezelfde hoek. Gecombineerd vormen deze lijnen de gelijkbenige rechthoekige driehoek uit de derde figuur van links, waarmee bewezen is, dat de basishoeken van deze driehoek even groot zijn (45°) - voor ons ’uiteraard’, in het Neolithicum mogelijk niet. In de derde figuur blijkt zo’n basishoek te zijn samengesteld uit een 1:2-hoek (groen) en een 1:3-hoek (blauw). Dezelfde gelijkbenige rechthoekige driehoek doet zich voor in het oriëntatierooster (rechter figuur, lichtode driehoek), zodat de hoek van de gele pijlen een 1:2-hoek moet zijn (basishoek minus een 1:3-hoek).

Stap II:
De hoek tussen de 212°- en de 193°-pijl moet een 1:3-hoek zijn (basishoek minus een 1:2-hoek). De hoek tussen de 148°- en de 167°-pijl is dit ook. De 212°- en de 148°-pijl spiegelen zich om het zuiden en de hoek van de 212°- met de 193°-pijl en de hoek van de 148°- met de 167°-pijl zijn even groot. Hieruit volgt, dat ook de 193°-pijl en de 167°-pijl zich om het zuiden spiegelen.

Oriëntatieroosters bij 153° en 207°

Bij Emmen D39 komt de oriëntatie van het initiële rooster overeen met de oriëntatie van het hunebed. Eén van de diagonalen van de kelder en dit rooster ligt exact noord-zuid. Bij D40 is het de zuidwestelijke draagsteen (Z1), waarvan de vlakke buitenkanten in het initiële rooster passen en geeft de noordwestelijke draagsteen (Z2) aan de kelderkant de noord-zuid-lijn weer. Noch bij D39, noch bij D40 wordt een oriëntatierooster op 0° gebruikt - wel op 53°, de andere diagonaal van het initiële rooster. Echter blijken de oriëntatielijnen in deze roosters 3° af te wijken. Dit geldt in D39 voor een diagonaal (50°) en in D40 voor de buitenkant van de noordelijke sluitsteen (S2 op 50°) en eveneens een diagonaal (140°). Op de pagina Hunebedden met satelieten wordt een verklaring voor deze afwijking gevonden.

Oriëntatieroosters bij 162° en 198°

De Franse dolmens ten zuiden van het Central Massif bezitten over het algemeen een heuvel van losse stenen, wat een minder solide constructie vormt. Uit eigen waarneming in de Gard blijken veel wanden te zijn ontzet. Op de plattegrond van het dolmen Bougon F is dit goed te zien. Van de hier getoonde dolmens is geen restauratiegeschiedenis bekend. Met enige reserve wordt desondanks een poging gewaagd om het oriëntatierooster toe te passen.

Het rooster met de proportie 1:3 als diagonaal functioneert als initieel rooster, waarvan de 162°-diagonaal richting geeft aan het oriëntatierooster. Het rooster onder 45° met de proportie 1:2 als diagonaal geldt zelf als oriëntatierooster. Beide rooster leveren identieke oriëntaties op: 180 - atan(1:3) = 135 + atan(1:2). Zoals bij de eerder behandelde dolmens en hunebedden, ligt in D25 de lange zijde van de ingeschreven 3:4:5-driehoek over één van de zijwanden. Bij de afgebeelde Franse dolmens loopt deze echter diagonaal door de kelder. Dit stemt overeen met de waarneming van Chevalier, dat bij het Languedoc-type dolmen de verhouding tussen zijwand en afsluiting gemiddeld 3:4 bedraagt [6.14]. Dat is de verhouding tussen de rechthoekzijden van de ingeschreven driehoek. Het dolmen Gouziac S heeft een afwijkende opzet.

Geen algemene regel

Op deze pagina staan alleen plattegronden vermeld, die aan het patroon voldoen. Dit mag niet de indruk wekken dat het patroon in alle plattegronden wordt gevonden. De verhoudingen liggen op dit moment ongeveer zo: In vrijwel alle plattegronden zijn lijnen te vinden, die met één van de oriëntatieroosters hierboven in verband staan. Bij een kwart daarvan ontstaat er met het rooster een situatie, die vanwege andere lijnen onwaarschijnlijk is. Bij de helft lijkt het rooster wel bepalend voor de oriëntatie, maar valt het patroon niet samen met de lengte-oriëntatie van het hunebed of dolmen. Het resterende kwart wordt gevormd door de hier behandelde plattegronden.

Dat er geen patroon is gevonden, betekent overigens niet, dat er geen patroon kan wórden gevonden. Mogelijk is er bij enkele hunebedden of dolmens te weinig in geïnvesteerd om het patroon te vinden. Door voor de hand liggende patronen verder uit te diepen, konden sommige in eerste instantie verworpen plattegronden, naderhand toch worden opgenomen. De prioriteit ligt bij het doorgronden van de gevonden patronen en niet bij het vinden van meer.

Conclusie

Hoewel de hier getoonde plattegronden steeds vanuit een vast stramien met een oriëntatierooster en eventueel een initieel rooster kunnen worden beschreven, blijkt dit maar in twee van de vijftien gevallen dezelfde algemene oriëntatie op te leveren:

Er is bepaald geen sprake van een éénduidige systematiek in het gebruik van het oriëntatierooster. Soms levert het een zekere gelijkvormigheid van de kelder op, maar dat lijkt meer een nevenproduct dan een doel op zich te zijn. Al evenmin kan het de bedoeling zijn geweest, om de kelder of poort van een specifieke oriëntatie te voorzien. Dan had men aan een beperkt aantal strategiën genoeg gehad. Bovendien variëren de oriëntaties zelf te veel. Mogelijk werd het oriëntatierooster aangewend voor de constructie van de ingesloten 3:4:5-driehoek, maar dan bevreemdt het, dat deze soms half buiten de kelder terecht komt. De huidige gegevens zijn te summier om op dit vlak conclusies te trekken.

Biedt het bovenstaande ons weinig inzicht in de denkwijze van de bouwlieden, het verklaart wel de spreiding in de oriëntaties van de neolithische grafkelders. Deze hoeft niet met de opkomst van de zon of de maan te worden verklaard, zoals de onderzoeken van van Giffen en Langbroek suggereren. Zo’n verklaring levert problemen met te noordelijke of te zuidelijke oriëntaties (zie de pagina Eerder Ned. onderzoek). Er zijn legio oriëntaties mogelijk door het wisselende gebruik van de oriëntatieroosters. Misschien dat uit het gebruik van oriëntatieroosters een zekere clustering van oriëntaties voort komt. Echter, wanneer de oriëntaties van de zes Nederlandse monumenten uit de lijst (27°, 58°/77°, 70°, 90°, 143° en 170°) worden vergeleken met de clustering van oriëntaties in de gegevens van González-García en Costa-Ferrer [6.15], dan blijkt er maar één (70°) in zo’n cluster te vallen. De statische benadering lijkt daarom niet het geëigende middel te zijn om het gebruik van oriëntatieroosters in zijn algemeenheid te toetsen. Voorlopig zit er niets anders op om ieder hunebed apart te onderzoeken - een tijdrovende zaak.

Tot slot nog een opmerking over de spiegeling om het zuiden. Het bepalen van het exacte zuiden mag een bijzondere prestatie worden genoemd voor het Neolithicum. Op zich is dit met eenvoudige middelen mogelijk, maar het vereist wel het inzicht, dat men loodrecht dan wel waterpas moet werken. De volgende opties zijn moderne fantasiën over hoe men deze taak heeft kunnen volbrengen:
(1) Men kan de baan van een ster om de hemelpool tussen twee schietloden inklemmen. Precies ertussen ligt het noorden. Dit kan het beste ’s winters worden uitgevoerd, wanneer de nachten lang zijn. Anders zal een ster namelijk ’s nachts het ene uiterste punt en pas overdag het andere bereiken.
(2) Met een waterpas opgestelde rechte stok kan een kunstmatige horizon worden verkregen. Het noorden dan wel zuiden ligt precies tussen de ’opkomst’ en ’ondergang’ van een hemellichaam.
(3) Men kan de schaduw van een stok op een vertikaal geplaatste wand volgen. Met behulp van een schietlood wordt het laagste punt van de schaduw bepaald. Vandaar naar de stok levert het zuiden.
Ook de Sulva-sutra geeft een slimme oplossing voor het probleem. In dit boek beginnen veel constructies met het uitzetten van een koord op een oost-west-lijn. Dat gaat zo:
(4) Eerst plaatst men een stok loodrecht op een waterpas afgevlakte ondergrond en trekt met een koord een cirkel. Dan wacht men tot de schaduw van de top de cirkel raakt - zowel voor de opkomende als de ondergaande zon. Beide punten worden gemarkeerd. Een koord, tussen deze punten gespannen, loopt precies oost-west. Het ware zuiden wordt hier geometrisch van afgeleid.